O Tetraedro Truncado

O mais simples entre todos os poliedros arquimedianos, derivado justamente do mais simples entre todos os platônicos.

Onde no tetraedro se fez vértice, onde era face, uma nova face com dobro de arestas surgiu. O processo de truncatura se faz conectando pontos de arestas concorrentes que se encontram a uma distância do vértice equivalente a um terço da aresta.

O Icosidodecaedro

O segundo poliedro nesta nova sequência é derivado justamente do icosaedro e do dodecaedro, apresentando assim, vinte faces triangulares e doze faces pentagonais.

Nele, cada aresta é dividida por um pentágono e um triângulo. Cada vértice é concorrido por quatro arestas, dois triângulos e dois pentágonos.

O Cubo-octaedro

Como o próprio nome sugere, ele possui características herdadas do cubo e do octaedro. Tais qualidades são as faces: oito triângulos equiláteros e seis quadrados.

Cada aresta (canudos negros) é dividida por um quadrado e um triângulo. Cada vértice é concorrido por quatro arestas, dois quadrados e dois triângulos. Os canudos brancos servem apenas para sustentar a estrutura.

Poliedros de Arquimedes

Os grupos ou "famílias" de poliedros convexos conhecidos recebem nome de seus descobridores. Quanto maior a exigência a respeito das características dos poliedros, menor é a quantidade de membros dentro do grupo.

Platão procurou por aqueles formados apenas por polígonos regulares em suas faces. Descobriu que era possível apenas com triângulos, quadrados e pentágonos. Você consegue descobrir o motivo de hexágonos, heptágonos e demais polígono não? Caso não queira pensar a respeito, aqui tem uma explicação honesta para isso.

Arquimedes, por sua vez, idealizou poliedros convexos regulares também, porém com mais de um polígono regular como face. A partir disso surgem treze (talvez quatorze) combinações. Com bem mais que triângulos, quadrados e pentágonos. Temos hexágonos, octógonos, decágonos distribuídos de maneira bem sortida.

Resumo de Poliedros de Platão III

Encerrando a sequência dedicada aos poliedros platônicos duais, apresento o icosaedro e o dodecaedro inscritos um no outro. Construir tais conjuntos demandou tempo e trabalho, em um nível de dificuldade acima dos demais até agora construídos.

Comecemos pelo dodecaedro inscrito no icosaedro. A primeira etapa consiste de se construir o icosaedro:

Resumo de Poliedros de Platão II

Continuando a proposta do tópico anterior, apresentarei outros exemplos da dualidade de poliedros envolvendo os poliedros platônicos.

Desta vez apresento o cubo inscrito no octaedro e o tetraedro inscrito nele mesmo.

Primeiro o cubo, vejam:

Resumo dos Poliedros de Platão I

Caros leitores, neste post passarei mais informação técnica que o planejado com a criação desse blog. Mas isto se faz necessário diante da necessidade de abordar outros poliedros adiante que exigirão conceitos ainda não mencionados. De forma que, dependendo do seu nível de conhecimento a respeito do tema, basta ver as imagens e seguir para próxima postagem.

Comecemos então, já comentei, mesmo que de forma sucinta, nas apresentações do Dodecaedro e do Icosaedro sobre a relação de Euler (V + F = A + 2). O que se precisa reforçar é o fato de esta relação valer para os demais poliedros platônicos e todos os poliedros convexos em geral.

Assim estabelecemos a seguinte tabela:

O Icosaedro Regular

Este é o maior dos poliedros concebidos por Platão, em termos do número de faces, vinte triângulos equiláteros. Pois apresenta a mesma quantidade de arestas do dodecaedro, trinta ao todo.

Associado ao elemento água, este sólido apresenta ainda doze vértices, concorridos cada um, por cinco arestas. Fato este que facilita sua construção para quem domina a técnica e complica a vida dos marinheiros de primeira viagem.

O Dodecaedro Regular

Este é um poliedro que, apesar da importância dada a ele por Platão, pouca atenção recebe a nível de ensino médio. Imagino que isto se deve ao fato de suas faces serem pentágonos e o cálculo de seu volume uma tarefa indigesta, mesmo para este que digita neste exato momento.

Pois bem, sabemos que, na antiguidade, os elementos da natureza eram conhecidos e quatro era sua sua quantidade. Terra (cubo), fogo (tetraedro), água (icosaedro) e ar (octaedro) se associaram a cada um desses elementos. E o dodecaedro? Forever alone? Não senhor.

Dodecaedro e o Universo (link de origem)

Ao dodecaedro, com suas doze faces pentagonais (assim como são doze os signos do zodíaco), trinta arestas e vinte vértices, coube representar o universo que, de fato, contém todos esses elementos. Uma boa sacada de Platão, mesmo que incorreta.

O Octaedro Regular

Constituído de doze arestas (assim como o cubo), oito faces e seis vértices (contrário do cubo), o octaedro apresenta oito triângulos como faces. Por sua vez, o octaedro regular possui triângulos equiláteros.

Feita esta "apresentação", veja a imagem a seguir:

O que desejo chamar a atenção mesmo com esta imagem são as sombras deste poliedro. A perspectiva de quem observa muda completamente a noção que se tem sobre a representação do poliedro em duas dimensões.

Por isso a necessidade de trabalhar com tais conceitos em três dimensões, não apenas em desenhos ou imagens de apostila. Veja esta foto: