Resumo dos Poliedros de Platão I

Caros leitores, neste post passarei mais informação técnica que o planejado com a criação desse blog. Mas isto se faz necessário diante da necessidade de abordar outros poliedros adiante que exigirão conceitos ainda não mencionados. De forma que, dependendo do seu nível de conhecimento a respeito do tema, basta ver as imagens e seguir para próxima postagem.

Comecemos então, já comentei, mesmo que de forma sucinta, nas apresentações do Dodecaedro e do Icosaedro sobre a relação de Euler (V + F = A + 2). O que se precisa reforçar é o fato de esta relação valer para os demais poliedros platônicos e todos os poliedros convexos em geral.

Assim estabelecemos a seguinte tabela:

O nome do sólido é determinado pela sua quantidade de faces, mas a quantidade de arestas e vértices é igualmente importante quando os comparamos. Vejam, as duplas cubo-octaedro (12) e dodecaedro-icosaedro (30) possuem número de arestas idêntico, alternando-se em número de vértices e faces.

Esta informação é relevante no que diz respeito à dualidade de poliedros. Um poliedro A é dito dual de um poliedro B quando unimos os centros das faces de B e formamos A.

Assim, o tetraedro é dual de si mesmo, o cubo e o octaedro duais entre si e o dodecaedro e icosaedro duais um do outro.

Mas representar esta dualidade em canudos não é tão simples, pois os canudos são as arestas e os nós entre eles os vértices, ficando os interiores dos sólidos e de suas faces vazios. Como resolver este problema? Bom, não é uma gambiarra propriamente dita, mas vejam:

Como o tetraedro (vermelho) possui seis arestas, o que coincide com o número de faces do cubo, ele ajuda a manter a estrutura do mesmo e, ao mesmo tempo, suas arestas passam pelos centros das faces do cubo, coincidindo exatamente com seus pontos médios. Basta então unir os pontos médios das arestas do tetraedro e teremos um octaedro.

Mais próximo:

A mesma estrutura por outro ângulo:

Algumas "operações" geométricas são possíveis entre poliedros duais. Mas nós as abordaremos quando tratarmos de outros tipos de poliedros. A princípio fica a menção um tanto desnecessária para os  mais atentos, os duais de sólidos platônicos são outros poliedros platônicos.

Na próxima postagem apresentarei outros dois casos de dualidade.